Text jag skriver

Tankar och saker som jag skriver om med text

0037_partialbråksuppdelning.md

bild på korsning

Korsmultiplikation

Låt säga att man fick ett uttryck för några givna x,y,p,q:

x/p + y/q

och man vill ha ett lika uttryck där huvudtecknet är (/) istället. Alltså något i denna form:

((...)) / ((...))

Eftersom ∀a. ((...)₁)/((...)₂)=((...)₁⋅a)/((...)₂⋅a) så:

= (x⋅q)/(p⋅q) + (y⋅p)/(q⋅p) = (x⋅q)/(p⋅q) + (y⋅p)/(p⋅q)

och eftersom ((...)₁)/b + ((...)₂)/b=((...)₁+(...)₂)/b //Distributivitet (/ över +) så:

= (x⋅q+y⋅p)/(p⋅q)

Partialbråksuppdelning

Tänk om man nu vill gå från andra hållet istället? Låt säga att man fick följande uttryck för några givna A,B:

A/B

och att det skulle uppdelas till ett lika uttryck i denna form:

((...))/p + ((...))/qB=p⋅q

En faktorisering av B behöver hittas (d.v.s. hitta ett element p och ett element q så att produkten av de båda är lika med B). Om det finns en faktorisering så:

A/B

= A/(p⋅q) //Ersätter B med (p⋅q)

Om det finns x och y så att A=x⋅q+y⋅p så är problemet löst eftersom

= (x⋅q+y⋅p)/(p⋅q) //Ersätter A med (x⋅q+y⋅p)

= (x⋅q)/(p⋅q) + (y⋅p)/(p⋅q) //Distributivitet (/ över +)

= x/p + y/q //Distributivitet (/ över +)

Precis som ovan. Så hur hittar man x och y?

A = x⋅q+y⋅p //A från ovan

A - y⋅p = x⋅q //(..)-y⋅p

(A - y⋅p)/q = x //(..)/q

Eftersom man vet värdena av A, p och q så kan vänstersidan evalueras om man väljer ett y, och då vet man x.

Detta gör att allt kan kortfattas med en formel:

∀y. A/B = ((A - y⋅p)∕q)/p + y/q

  • B=p⋅q

alternativt:

∀y. A/B = x/p + y/q

  • B=p⋅q
  • x=((A - y⋅p)∕q)

Eller med en sats:

∀A∀B∀p∀q. (B=p⋅q) ⇒ (∀y. A/B=((A - y⋅p)∕q)/p + y/q)

Exempel

Man får 1/6 och det ska uppdelas.

2 och 3 är en finfin faktorisering av 6 (alltså, 6=2⋅3).

x = (A - y⋅p)/q

x = (1 - y⋅2)/3 //A=1, B=6, p=2, q=3 med formelns beteckningar

Välj ett y, t.ex. y=1

x = (1 - 1⋅2)/3 = (1 - 2)/3 = -1/3

A/B = x/p+y/q = (-1/3)/2 + 1/3 = -1/6 + 1/3 = 1/6

Om man hade valt ett annat y, t.ex. y=2

x = (1 - 2⋅2)/3 = (1 - 4)/3 = -3/3 = -1

A/B = x/p+y/q = -1/2 + 2/3 = 1/6

Exemplena motiverar att en stor mängd lösningar för x och y finns.