Text jag skriver

Tankar och saker som jag skriver om med text

0024_olika_typer_av_inverser.md

Vissa uttrycker sig själva med orden "inversen av x" och menar 1/x, alltså egentligen den multiplikativa inversen av x.

Ingen tror att man menar -x, som är den additiva inversen av x, för den kallas "minus x".

Ingen tror heller att man menar funktionsinversen av xx är en funktion, eftersom man av någon anledning sällan snackar om funktionsinverser, och x betecknar konventionellt inte funktioner.

Och om man är i matriskontextet så är det vanligt att mena den multiplikativa inversen av x för matriserx är en matris.

Så vad är en invers egentligen? Såhär ser några definitioner på ovannämnda saker ut:

Multiplikativa inversen

  • x*(1/x) = (1/x)*x = 1
  • x*(x^-1) = (x^-1)*x = 1

där 1/x och x^-1 betecknar inverselementet av x.

Additiva inversen

  • x+(0-x) = (0-x)+x = 0
  • x+(-x) = (-x)*x = 0
  • x+(x*-1) = (x*-1)+x = 0

där 0-x, -x och x*-1 betecknar inverselementet av x.

Funktionsinversen

  • x∘x^-1 = x^-1∘x = id
  • ∀y. x((x^-1)(y)) = (x^-1)(x(y)) = y

där x^-1 är inverselementet av x och id är identitetsfunktionen.

Multiplikativa inversen för matriser

  • x*x^-1 = (x^-1)*x = I

där x^-1 är inverselementet av x och I är identitetsmatrisen.

Vad är en invers?

Vad alla har gemensamt är att de följer följande mönster:

För en operator och ett element x:

x▫f(x) = I = f(x)▫x

där

  • I är identitetselementet till operatorn
  • f(x) är inverselementet till x och operatorn
  • f är funktionen som ger inverselementet till sitt argument och operatorn

Det verkar som att när man uttrycker "inversen av något" så menar man inverselementet av något för en viss operator.

Beteckningarna för den multiplikativa inversen är då med ovanstående definition:

  • f(x) = x^-1 = 1/x
  • I = 1

Beteckningarna för den additiva inversen:

  • f(x) = -x
  • I = 0

Beteckningarna för funktionsinversen:

  • f(x) = x^-1
  • I = id

Definitionen för invers ovan inkluderar även att operatorn är kommutativ just när det kommer till inverselementen. Eftersom kommutativitet är definierat på följande sätt:

För en operator :

∀x∀y. x▫y = y▫x ⇔ (▫) är kommutativ

Det gör att om en operator har att följande x▫y = I ≠ y▫x gäller, så har den inga inverselement.

Det finns dock tillfällen där det är nyttigt att kunna uttrycka sig kring dessa saker så därför:

Vänster inverselement

För en operator och ett element x:

(f_V)(x)▫x = I

där

  • (f_V)(x) är det vänstra inverselementet till x för operatorn
  • I är identitetselementet till operatorn
Höger inverselement

För en operator och ett element x:

x▫(f_H)(x) = I

där

  • (f_H)(x) är det högra inverselementet till x för operatorn
  • I är identitetselementet till operatorn

Endast då f_V = f_H gäller finns inverselementet som är lika med båda dem. Men vad är f egentligen? Det är funktionen som ger inverselementet, så vad kallar man detta? Inverselementsfunktionen? Eller är det det man menar med "inversen"?

Man hade även kunnat se det som att operatorer har inverser, t.ex. subtraktion som en inversoperator till addition, men det kanske jag kan skriva om någon annan gång.