Text jag skriver

Tankar och saker som jag skriver om med text

0023_lösningsmängder_för_icke_bijektiva_funktioner.md

Det finns mer än en lösning av parametern x i ekvationen x^2=9:

  • 3 är en lösning (3^2=9)
  • -3 är en annan lösning ((-3)^2=9)

Detta beror på att funktionen x ↦ (x^2) inte är bijektiv.

Trots detta finns en funktion x ↦ (2√x) som ska representera inversen till funktionen ovan. Iallafall nästan, för denna funktion representerar enbart en av lösningarna:

2√(3^2) = 2√((-3)^2) = 3

För att representera båda lösningar när man löser ekvationer kan man använda sig av ±:

2√(x^2)=2√9 //2√(..)

x=±3

Det finns en lite smått negativ åsikt kring användandet av ±. Från vad jag har snappat upp så är det antagligen för att folk anser att en funktion inte ger två värden, och det gör ±. Om man tolkar det som att x både kan vara 3 och -3 så får man något felaktigt om man sätter x till en av lösningarna och följer samma steg:

2√(3^2)=2√9 //2√(..)

3=±3 ⇔ (3=+3) ∧ (3=-3)

3 kan inte vara -3.

Här är två möjliga sätt att få ± fungera:

Sätt 1: Flera värden

Vänsterled behöver inte gälla för båda värden. Man hade alltså istället kunnat tolka det som:

3=±3 ⇔ (3=+3) ∨ (3=-3)

Då hade kanske uttryck med flera värden fungerat?

Låt säga att x=A|B|C ⇔ (x=A) ∨ (x=B) ∨ (x=C) som gör att a|b skulle innebära värdet a eller värdet b

samt att följande gällde:

  • ∀a∀b. f(a|b) = f(a)|f(b)
  • ∀a. a|a = a
  • ∀a. a|(b|c) = (a|b)|c //Associativitet
  • ∀a. a|b = b|a //Kommutativitet

Man skulle då kunna definiera ± på följande sätt: ±x = (+x)|(-x).

Hade det funkat? Ingen aning. Jag har inte testat eller bevisat att det fungerar.

Sätt 2: Mängder

Man hade kunnat använda sig av mängder och uttrycka det på följande sätt istället:

±2√(x^2)=±2√9 //2√(..)

±x=±3

så hade det kunnat stämma eftersom det felaktiga fallet försvinner:

±2√(3^2)=±2√9 //2√(..)

±3=±3

Alltså att man ser det som att ±x = {x,-x}(±): T→MM är typen för mängder. Man kan dock inte längre uttrycka sig såhär:

(x^2=9) ∧ (x=±3)

utan snarare måste säga

(x^2=9) ∧ (x∈±3)

och man hade då kunnat säga att ±3 är lösningsmängden för x.