Text jag skriver

Tankar och saker som jag skriver om med text

0013_att_lara_sig_matematik_och_dess_notation.md

Högstadieperioden

Det började i högstadiet. Vi blev introducerade till konceptet funktion. Man skulle tänka i form av en tvådimensionell funktionsgraf med en y- och x-axel som representerade en vertikal riktning respektive en horisontell riktning, samt en linje som gick från vänster till höger på något möjligen slingrigt sätt. Det var vad en funktion var för oss.

Jag hade dock programmerat sedan innan, och för mig var en funktion något som gjorde saker (ofta med argumenten) och kunde ge ut ett värde. Det tog inte ett långt tag innan jag såg kopplingen mellan dessa två lite olika varianter av funktioner.

Visserligen var notationen lite annorlunda:

`y = 2x`

jämfört med

int y(int x){
    return 2*x;
}

men det gick att se lite likheter. Jag tänkte mig att `y=2x` var definitionen av `y`, och att `y(x)` var appliceringen av funktionen y (ger det ett värde). Det var inte helt tokigt. Jag började även istället skriva det

`y(x) = 2x`

eftersom det verkade vara okej med alla, men det var inget som folk krävde att jag gjorde. Det kändes dock mer rimligt för mig. Var skulle annars x:et komma ifrån i funktionsdefinitionen, tänkte jag då.

Från att ha programmerat så reflekterade jag även tillbaka på multiplikation. Varför struntar man i att skriva ut multiplikationstecknet? Visserligen är det intuitivt att tänka `2x` innebär 2 stycken `x`, precis som man säger det i vardagligt tal, men det gör också att

`ax=a**x`.

Så man kan inte ha variabelnamn med flera bokstäver, vilket gör att man förlorar en massa potentiellt bra namn! Inte nog med det så blir också följande tvetydigt:

`f(2+3)` från att `4(2+3) = 4*2 + 2*3`.

Om f är en funktion så är `(2+3)` argumentet som appliceras på f (funktionsapplicering). Om f är ett tal så är ovan ekvivalent med `f*2 + f*3` (multiplikation).

Gymnasieperioden

Efter detta kom jag till gymnasiet. Vi blev introducerade till de trigonometriska funktionerna:

`sin(x), cos(x), tan(x)`

Så det är okej att namnge sina funktioner med flera bokstäver, eller var det här bara ett undantag? Funktionsinverserna introducerades också:

`sin^(-1)(x), cos^(-1)(x), tan^(-1)(x)`.

Det var något nytt för mig. Var det en del av namnet eller betydde det något? Jag antog det senare. Skriver man `f^(-1)` eftersom `x^(-1)=1/x` och man vanligtvis brukar kalla det för inversen av x? Det kunde jag väl gå med på (utan att veta vad en invers faktiskt var för något).

Det påstods också vara tvetydigt att skriva

`sin(x)^2` för att mena `(sin(x))^2`

eftersom det var möjligt att man menade `sin((x)^2)`

så man skrev istället

`sin^2(x)`.

Men `sin^2(x)` och `sin^(-1)(x)` handlar om två olika saker tänkte jag.

`sin^(-1)(x) ≠ (sin(x))^(-1)`

`sin^2(x) = (sin(x))^2`

Ändå följer man samma mönster på de båda? Personligen valde jag att alltid skriva `sin(x)^2` och `asin(x)` för de inversa trigonometriska funktioner.

De trigonometriska funktionerna kunde också skrivas utan paranteserna runt argumenten:

`sin x` och `cos x`

olikt alla andra funktioner, för då trodde folk att man menade:

`f x = f**x`

Kanske det var på grund av detta som man föredrog `sin^2 x`, men problemet hade inte funnits om man bara satte ut lite paranteser och bestämde sig för att funktionsapplicering hade prioritet över exponentiering.

Vi blev också introducerade till olika koncept som derivata, integral, m.m..

Till exempel sa man vanligtvis något i stil med att

`y = 2x² + 3x + 4`

är en funktion och att derivatan av y är

`y' = 4x + 3`

Jag fortsatte att skriva med argumentet: `y(x)`, och det var nu mer av en standard att inkludera det. En liten dutt bredvid funktionsnamnet innebar derivatan av funktionen. Det var tydligt och fint.

Integralen av y över det slutna intervallet mellan 5 och 6 är

`∫_5^6 y(x) dx = Y(6)-Y(5)` då `Y=(2/3)x³ + (3/2)x² + 4x + c`

där Y är antiderivatan av y och c är en konstant.

Funktionsnamnet med stora bokstäver innebar antiderivatan, men det tyckte jag var lite dumt, för det innebar att en massa potentiellt lediga funktionsnamn nu försvann! Vi hade ju redan restriktionen att ett namn enbart bestod av en bokstav (till skillnad från hur programmeringsspråk har det), och nu kom ännu en restriktion! Då kunde man inte längre använda stora bokstäver heller för då kunde det misstolkas som att det var antiderivatan av en funktion! (Eller som vi också kallade dem: primitiv funktion) Integralen var också lite konstig. Vad gör `dx` där i slutet? Men det var så man skrev.

En dag skulle vi lära oss den så kallade kedjeregeln, eller som jag nu brukar kalla den: derivatan av sammansatta funktioner. Då stod det:

`h'(x) = f'(g(x))*g'(x)` då `h(x) = f(g(x))`.

De introducerade även ett nytt sätt att skriva derivatan på:

`(df)/(dx)`

som då skulle göra regeln enklare:

`(df)/(dx) = (df)/(dg) * (dg)/(dx)`.

Detta skulle göra det enkelt att komma ihåg eftersom man med några enkla operationer skulle kunna härleda detta:

`(df)/(dg) * (dg)/(dx) = (df*dg)/(dg*dx) = (df*dg)/(dx*dg) = (df)/(dx) * (dg)/(dg) = (df)/(dx) * 1 = (df)/(dx)`.

Det satt inte helt rätt för mig när detta kom. Frågor som vad `(df)/(dg)` innebar eftersom g inte var en variabel dök upp. Eftersom jag tänkte mig att

`(df)/(dx) = f'` (eftersom `(df)/dx = f'(x)` ej kunde stämma)

så förstod jag ingenting. Hur uttryckte man ens `f'(2)` på det nya sättet att skriva? Det behövdes ju när man skulle ta reda på tangentlinjen i en punkt av en funktion.

Det var också konstigt att

`f/x ≠ (df)/(dx) ≠ (d**f)/(d**x)`.

Så det var med andra ord inte multiplikation. Något speciellt var det med `d`.

Jag fortsatte i varje fall att skriva `f'` och inga problem dök upp, men jag förstod inte varför folk hurrade för den andra notationen. Sen kom dock universitetet...

Slut på del 1